jueves, 28 de mayo de 2015
TENDENCIA CENTRAL
DEFINICIÓN
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase.
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:
Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.
Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Las medidas de tendencia central más comunes son:
La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.
La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.
La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.
 |
| La media, el mejor dato. |
De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las características de la media, esta es afectada por los valores extremos).
La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones:
Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cómputo de la media.
Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada.
Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.
La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.
Cómo calcular, la media, la moda y la mediana
Media aritmética 
o promedio
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE LA TENDENCIA CENTRAL
PROBLEMAS
Problema 2:
se realizo una encuesta a 30 fmilias de cierta poblacion sobre la duracion de la ampolletas; la informacion
que se obtuvo fue la siguiente:
7 familias dijeron que duraban de 20 a 26 dias
8 dijeron entre 27 y 33 dias
5 dijeron entre 34 y 40 dias
2 dijeron entre 48 y 54 dias
3 dijeron entre 55 y 61 dias, otra familia dijo que le duró mas de 62 dias
5
i) ¿Cómo ordenarías esta información en una tabla de distribución?ii) ¿Cuánto duran en promedio las ampolletas? Interprete ese resultado.iii) ¿cual es la duración de las ampolletas que más mencionan las familias?
Solución:
i) Respuesta:Intervalos Marca declaseFrecuenciaAbsolutaFrecuenciaRelativa
'
1
i
−
–
'
1
i
n
i
f
i
20 – 26 23 7 0,23327 – 33 30 8 0,26634 – 40 37 5 0,16641 – 47 44 4 0,13348 – 54 51 2 0,06655 – 61 58 3 0,1062 - 68 65 1 0,033n=30ii) Respuesta:La interpretación que se le puede dar es que el control de calidad de las ampolletas no debe permitir quelas ampolletas duren menos de 37 días. Para ser aceptadas deben durar más de 37 días.iii) Respuesta:La Moda:La mayor frecuencia absoluta es 8. Luego la moda esta en el intervalo 27 – 33 y la moda es:
.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
DEFINICIÓN
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, y cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.
Di = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
La desviación media se representa por 
Varianza:
Es la media de los cuadrados de las desviaciones, y la denotaremos por 
o también por 
.
o también por .
Aunque también es posible calcularlo como:
Este estadístico tiene el inconveniente de ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado de la unidad de la variable, por ejemplo, si la variable viene dada en cm. La varianza vendrá en cm2.
Desviación típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza, se denota por Sx o s x.
Este estadístico se mide en la misma unidad que la variable por lo que se puede interpretar mejor.
Otros dos estadísticos importantes son la cuasivarianza y la cuasidesviación típica, que como veremos cuando estudiemos el tema de estimación estadística, son los estimadores de la varianza y desviación típica poblacionales respectivamente.
Cuasivarianza:
Es una medida de dispersión, cuya única diferencia con la varianza es que dividimos por N-1, la representaremos por 
o 
y la calcularemos de la siguiente forma:
o y la calcularemos de la siguiente forma:
Cuasidesviación típica:
La raíz cuadrada de la cuasivarianza y la denotaremos por SN—1 o s N-1.
Todas estas medidas de dispersión vienen influidas por la unidad en la que se mide la variable, esto implica que si cambiamos de unidad de medida, los valores de estos estadísticos se vean a su vez modificados. Además, no permite comparar por ejemplo, en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan mas dispersión. Pues no es posible comparar unidades de distinto tipo.
Precisamos por lo tanto, una medida "escalar", es decir, que no lleve asociado ninguna unidad de medida.
Coeficiente de Variación:
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
El número de diás necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de igualescaracterísticas han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda,varianza y desviación típica.
SOLUCIÓN:La media
:
suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que sedispone:
La mediana
: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo.Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los dos valores que seencuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez
60,
que es el valor de
la mediana
.
La moda
: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es
60La varianza S
2
: Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la mediaaritmética de la distribución.S
x2
=
La desviación típica S:
es la raíz cuadrada de la varianza.
S
= √ 427,61 =
20.67
El rango:
diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor
80 - 15 = 65 díasEl coeficiente de variación:
cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética
CV
= 20,67/52,3 =
0,39
2)
EJEMPLO
El precio de un interruptor magentotérmico en 10 comercios de electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25,29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media, moda, mediana, (abrir la calculadora estadística, más abajo) diagrama de barrasy el diagrama de caja.
SOLUCIÓN:
(Utilizar la calculadora de debajo)
REGLAS DE LA PROBABILIDAD
DEFINICIÓN
La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone de antemano.
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
REGLA DE LA ADICIÓN
Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo pueden obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.
De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:
Demostración:
Se conoce que
por otro lado se tiene que 
Entonces
Entonces
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar 
Las relaciones 
y 
son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:
y son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:
Calcular probabilidades de intersecciones de eventos 
con base en probabilidades condicionales.
con base en probabilidades condicionales.
Esta regla de manera general se puede expresar como:
Sea 
eventos tales que 
. Entonces
eventos tales que . Entonces |
problemas de aplicación
CRITERIOS DE PROBABILIDAD
1. (Inspección de Lotes)
Un lote contiene 
items de los cuales 
son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.
items de los cuales son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.
Solución
Sea los eventos
entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento 
que es la intersección entre los eventos 
y 
. De la información dada se tiene que:
que es la intersección entre los eventos y . De la información dada se tiene que:
así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es
Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es
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